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\addbibresource{citation.bib}

\begin{document}
% =================================================
\title{Numerical Analysis homework \# 3}

\author{王劼 Wang Jie 3220100105
  \thanks{Electronic address: \texttt{2645443470@qq.com}}}
\affil{(math), Zhejiang University }


\date{Due time: \today}

\maketitle

\begin{abstract}
   Programming homework chapter3  
\end{abstract}





% ============================================
\section*{Programming Homework}

完成第三章的项目作业

\subsection*{Question A}
\textbf{Answer:}



\begin{figure}[htbp] 
   \centering 
   \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../figure/A.png} 
   \caption{A} 
   \label{figA} 
\end{figure}

由图可知，不受龙格现象影响。

以下是对于每个 \( N \) 的子区间中点误差向量的最大范数（Max Norm）：

\begin{enumerate}
   \item[(1)] \( N = 6 \), Max Norm of Error = 0.421705
   \item[(2)] \( N = 11 \), Max Norm of Error = 0.0205289
   \item[(3)] \( N = 21 \), Max Norm of Error = 0.00316894
   \item[(4)] \( N = 41 \), Max Norm of Error = 0.000275356
   \item[(5)] \( N = 81 \), Max Norm of Error = 1.609e-05
\end{enumerate}

\subsection*{Question B}
\textbf{Answer:}

看C中例子即可。

\subsection*{Question C}
\textbf{Answer:}



以下是函数 \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \), \( x \in [-5, 5] \) 上分别对于：

\[
t_i = -6 + i, \quad i = 1, \ldots, 11
\]

\[
t_i = \frac{i - 11}{2}, \quad i = 1, \ldots, 10
\]

所绘制的多项式与精确函数图。

\begin{figure}[htbp] 
   \centering 
   \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../figure/C.png} 
   \caption{C} 
   \label{figC} 
\end{figure}

\subsection*{Question D}
\textbf{Answer:}

函数为 \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \), \( x \in [-5, 5] \).

第一种B样条插值点为\(-4.5, -3.5, \cdots, 3.5, 4.5\),第二种B样条插值点为\(-5, -4, \cdots, 4, 5\), 两者均为完全边界条件.

误差（第一种 B 样条）:

\[
x = -3.5, \quad E_S(x) = 0
\]
\[
x = -3, \quad E_S(x) = 0.00312102
\]
\[
x = -0.5, \quad E_S(x) = 0
\]
\[
x = 0, \quad E_S(x) = 0.0195316
\]
\[
x = 0.5, \quad E_S(x) = 0
\]
\[
x = 3, \quad E_S(x) = 0.00312102
\]
\[
x = 3.5, \quad E_S(x) = 0
\]

误差（第二种 B 样条）:

\[
x = -3.5, \quad E_S(x) = 0.000669568
\]
\[
x = -3, \quad E_S(x) = 0
\]
\[
x = -0.5, \quad E_S(x) = 0.0205289
\]
\[
x = 0, \quad E_S(x) = 0
\]
\[
x = 0.5, \quad E_S(x) = 0.0205289
\]
\[
x = 3, \quad E_S(x) = 0
\]
\[
x = 3.5, \quad E_S(x) = 0.000669568
\]

\subsection*{Question E}
\textbf{Answer:}



对于 cumulative chordal length 在三个函数的拟合如下图所示：

\begin{figure}[H]  % 使用 [H] 确保图像在当前位置
   \centering
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/E1_cumulative.png}  
      \caption{Function 1}
      \label{figE1_cumulative}
   \end{subfigure}
   \hspace{0.5cm}  % 控制子图之间的水平间距
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/E2_cumulative.png}
      \caption{Function 2}
      \label{figE2_cumulative}
   \end{subfigure}
   \hspace{0.5cm}  % 控制子图之间的水平间距
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/E3_cumulative.png}
      \caption{Function 3}
      \label{figE3_cumulative}
   \end{subfigure}
   \caption{Cumulative chordal length}
   \label{figE_cumulative}
\end{figure}

对于等距节点在三个函数的拟合如下图所示：

\begin{figure}[H]  % 使用 [H] 确保图像在当前位置
   \centering
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/E1_equidistant.png}  
      \caption{Function 1}
      \label{figE1_equidistant}
   \end{subfigure}
   \hspace{0.5cm}  % 控制子图之间的水平间距
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/E2_equidistant.png}
      \caption{Function 2}
      \label{figE2_equidistant}
   \end{subfigure}
   \hspace{0.5cm}  % 控制子图之间的水平间距
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/E3_equidistant.png}
      \caption{Function 3}
      \label{figE3_equidistant}
   \end{subfigure}
   \caption{Equidistant nodes}
   \label{figE_equidistant}
\end{figure}

由图可知用 cumulative chordal length拟合效果更好。

对于三次样条和三次贝塞尔曲线之间的差异：

三次样条：在整个定义域内连续且光滑，一阶和二阶导数在节点处连续，计算上相对复杂。

三次贝塞尔曲线：在端点处连续，但其导数（斜率）不一定连续，是局部控制的，改变一个控制点只影响曲线的一部分，计算上相对简单。

\subsection*{Question F}
\textbf{Answer:}

对于截断幂函数的差商函数图，\(n=1,2\)分别如下图所示:

\begin{figure}[H] 
   \centering 
   \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../figure/F1.png} 
   \caption{F1} 
   \label{F1} 
\end{figure}

\begin{figure}[H] 
   \centering 
   \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../figure/F2.png} 
   \caption{F2} 
   \label{F2} 
\end{figure}

\subsection*{Test}
\textbf{Answer:}



验证 ppForm 和 BSpline 格式下取相同插值点和相同边界条件，得到的曲线是相同的.

以下为取函数为\(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\), 采用完全样条的边界条件, 插值点为\(-5, -4, \cdots , 4, 5\), 用ppForm 和 BSpline作差画出来的曲线。

\begin{figure}[H] 
   \centering 
   \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../figure/test1.png} 
   \caption{test1} 
   \label{test1} 
\end{figure}

验证PPForm和BSpline格式下三类三次样条函数\(S_3^2\)分别用周期边界条件，自然样条，完全三次样条三种边界条件并使用了不均匀节点，

其中完全样条和周期样条采用函数\(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\), 区间为\([-\pi,\pi]\), 插值点为\(-\pi, -3, -\pi/2,-1.5, -0.5, 0, 0.5, 1.5, \pi/2, 3, \pi\)。

而对于自然样条同样采用函数\(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\), 但区间为\([\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}]\), 插值点为\(\pi/2, \pi/2+0.4, \pi/2+1, \pi, \pi/2+\pi-1, \pi/2+\pi-0.4, \pi/2+\pi, \pi/2+\pi+0.4, \pi/2+\pi+1, 2*\pi, \pi/2+2*\pi-1, \pi/2+2*\pi-0.4, \pi/2+2*\pi\)。

PPForm结果如下所示:

\begin{figure}[H]  % 使用 [H] 确保图像在当前位置
   \centering
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/test_2_p1.png}  
      \caption{complete}
      \label{fig_test2_p1}
   \end{subfigure}
   \hspace{0.5cm}  % 控制子图之间的水平间距
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/test_2_p2.png}
      \caption{natural}
      \label{fig_test2_p2}
   \end{subfigure}
   \hspace{0.5cm}  % 控制子图之间的水平间距
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/test_2_p3.png}
      \caption{periodic}
      \label{fig_test2_p3}
   \end{subfigure}
   \caption{PPForm}
   \label{fig_test_PPForm}
\end{figure}

BSpline结果如下所示:

\begin{figure}[H]  % 使用 [H] 确保图像在当前位置
   \centering
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/test_2_b1.png}  
      \caption{complete}
      \label{fig_test2_b1}
   \end{subfigure}
   \hspace{0.5cm}  % 控制子图之间的水平间距
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/test_2_b2.png}
      \caption{natural}
      \label{fig_test2_b2}
   \end{subfigure}
   \hspace{0.5cm}  % 控制子图之间的水平间距
   \begin{subfigure}[b]{0.45\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[width=\textwidth]{../figure/test_2_b3.png}
      \caption{periodic}
      \label{fig_test2_b3}
   \end{subfigure}
   \caption{BSpline}
   \label{fig_test_BSpline}
\end{figure}


% ===============================================
\section*{ \center{\normalsize {Acknowledgement}} }
None.


\printbibliography

\end{document}